このページでは物理ベースレンダリングの理論的な部分について解説を行う。
光の性質を記述する方法は大きく分けて2つある。
幾何光学
波動光学
物理ベースレンダリングにおいては幾何光学による光の表現を主に利用する。
振動数ν \nu ν e ν e_{\nu} e ν
e ν = h ν e_{\nu} = h\nu e ν = h ν h h h ν = c λ \nu = \frac{c}{\lambda} ν = λ c λ \lambda λ e λ e_{\lambda} e λ
e λ = h c λ e_{\lambda} = \frac{hc}{\lambda} e λ = λ h c 波長λ \lambda λ n n n スペクトル放射エネルギー Q λ Q_{\lambda} Q λ
Q λ = n e λ = n h c λ Q_{\lambda} = n e_{\lambda} = n \frac{hc}{\lambda} Q λ = n e λ = n λ h c 放射エネルギー Q [ J ] Q[J] Q [ J ]
Q = ∫ 0 ∞ Q λ d λ Q = \int_0^{\infty} Q_{\lambda} d\lambda Q = ∫ 0 ∞ Q λ d λ 放射束 Φ [ W ] \Phi[W] Φ [ W ]
Φ = d Q d t \Phi = \frac{dQ}{dt} Φ = d t d Q 放射束 イメージ的にはある領域を単位時間あたりに通過する光子の量と考えられる。物理ベースレンダリングでは放射束が光の基本的な物理量となる。
波長について考慮する場合はスペクトル放射束 Φ λ \Phi_{\lambda} Φ λ
Φ λ = d Q λ d t \Phi_{\lambda} = \frac{dQ_{\lambda}}{dt} Φ λ = d t d Q λ 放射束面密度 [ W ⋅ m − 2 ] [W\cdot m^{-2}] [ W ⋅ m − 2 ] d A dA d A
d Φ d A \frac{d\Phi}{dA} d A d Φ 放射束面密度 単位面積を単位時間に通過する光子の数と考えることができる。つまり、ある点を単位時間に通過する光子の数である。
入射してくる光に対する放射束面密度は放射照度(Irradiance) E E E 放射発散度(Radient Exitance) M M M
半径r r r a a a
a 4 π r 2 \frac{a}{4\pi r^2} 4 π r 2 a 立体角は光線の方向と角度的な大きさを表現する概念であり、以下のように定義される。
点O O O S S S Ω \Omega Ω O O O S S S Ω \Omega Ω 立体角
単位球面上で面積が1になるような角度が単位立体角である。立体角の単位はステラジアン[ s r ] [sr] [ s r ]
放射強度 I [ W ⋅ s r − 1 ] I[W\cdot sr^{-1}] I [ W ⋅ s r − 1 ] d ω ⃗ d\vec{\omega} d ω
I = d Φ d ω ⃗ I = \frac{d\Phi}{d\vec{\omega}} I = d ω d Φ 放射強度 放射強度はある領域において、ある方向から単位時間あたりに来る光子の数を表している。
放射輝度 L [ W ⋅ m − 2 ⋅ s r − 1 ] L[W\cdot m^{-2}\cdot sr^{-1}] L [ W ⋅ m − 2 ⋅ s r − 1 ]
L ( x , ω ⃗ ) = d 2 Φ cos θ d A d ω ⃗ L(x, \vec{\omega}) = \frac{d^2\Phi}{\cos{\theta}dAd\vec{\omega}} L ( x , ω ) = cos θ d A d ω d 2 Φ 放射輝度 θ \theta θ d A dA d A ω ⃗ \vec{\omega} ω cos θ d A \cos{\theta}dA cos θ d A d A dA d A ω ⃗ \vec{\omega} ω
放射輝度は方向ω ⃗ \vec{\omega} ω d A dA d A
放射輝度は空間中のある一点において、ある方向から来る光の強さを表している。物理ベースレンダリングにおいて最も重要な物理量である。
真空中においては光が進行しても放射輝度の値は変化しない 。
ある物体表面の位置をx x x d ω ⃗ d\vec{\omega} d ω L ( x , ω ⃗ ) L(x, \vec{\omega}) L ( x , ω ) x x x
d Φ d A = ∫ Ω L ( x , ω ⃗ ) ( ω ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω ⃗ \frac{d\Phi}{dA} = \int_{\Omega}L(x, \vec{\omega})(\vec{\omega}\cdot\vec{n})d\vec{\omega} d A d Φ = ∫ Ω L ( x , ω ) ( ω ⋅ n ) d ω と計算できる。
放射輝度から放射束面密度を計算 n ⃗ \vec{n} n x x x Ω \Omega Ω
ある領域A A A
Φ = ∫ A ∫ Ω L ( x , ω ⃗ ) ( ω ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω ⃗ d A \Phi = \int_{A}\int_{\Omega}L(x, \vec{\omega})(\vec{\omega}\cdot\vec{n})d\vec{\omega}dA Φ = ∫ A ∫ Ω L ( x , ω ) ( ω ⋅ n ) d ω d A 球面座標( θ , ϕ ) (\theta, \phi) ( θ , ϕ )
d ω ⃗ = sin θ d θ d ϕ d\vec{\omega} = \sin{\theta}d\theta d\phi d ω = sin θ d θ d ϕ これを用いると、半球方向全体Ω \Omega Ω f f f
∫ Ω f ( ω ⃗ ) d ω ⃗ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 f ( θ , ϕ ) sin θ d θ d ϕ \int_{\Omega} f(\vec{\omega})d\vec{\omega} = \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\theta, \phi)\sin{\theta}d\theta d\phi ∫ Ω f ( ω ) d ω = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π f ( θ , ϕ ) sin θ d θ d ϕ 半球全体での立体角による積分は物理ベースレンダリングにおいて頻出であり、この変換は特に重要。
光は物体表面に到達すると一部が吸収され、残りは反射される。点x x x ω i ⃗ \vec{\omega_i} ω i ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r 双方向反射率分布関数(BRDF) f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r}) f ( x , ω i , ω r )
f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) = d L r ( x , ω r ⃗ ) d E i ( x , ω i ) = d L r ( x , ω r ⃗ ) L i ( x , ω i ⃗ ) ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r}) = \frac{dL_r(x, \vec{\omega_r})}{dE_i(x, \omega_i)} = \frac{dL_r(x, \vec{\omega_r})}{L_i(x, \vec{\omega_i})(\vec{\omega_i}\cdot \vec{n})d\vec{\omega_i}} f ( x , ω i , ω r ) = d E i ( x , ω i ) d L r ( x , ω r ) = L i ( x , ω i ) ( ω i ⋅ n ) d ω i d L r ( x , ω r ) BRDF BRDFには次の重要な性質がある。
f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) = f ( x , ω r ⃗ , ω i ⃗ ) f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r}) = f(x, \vec{\omega_r}, \vec{\omega_i}) f ( x , ω i , ω r ) = f ( x , ω r , ω i ) 入射方向と反射方向を入れ替えてもBRDFの値は変化しない。これは ヘルツホルムの相反性の法則 と呼ばれる。
また、受け取った以上の光を返すことはありえないので
∫ Ω f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ ≤ 1 \int_{\Omega} f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r})(\vec{\omega_i}\cdot\vec{n})d\vec{\omega_i} \le 1 ∫ Ω f ( x , ω i , ω r ) ( ω i ⋅ n ) d ω i ≤ 1 が成り立つ。
BRDFを使うと半球全体Ω \Omega Ω x x x ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r L r ( x , ω r ⃗ ) L_r(x, \vec{\omega_r}) L r ( x , ω r ) L r ( x , ω r ⃗ ) = ∫ Ω f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) L i ( x , ω i ⃗ ) ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ L_r(x, \vec{\omega_r}) = \int_{\Omega}f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r})L_i(x, \vec{\omega_i})(\vec{\omega_i}\cdot \vec{n})d\vec{\omega_i} L r ( x , ω r ) = ∫ Ω f ( x , ω i , ω r ) L i ( x , ω i ) ( ω i ⋅ n ) d ω i
反射する放射輝度の計算 ここでL i ( x , ω i ⃗ ) L_i(x, \vec{\omega_i}) L i ( x , ω i ) ω i ⃗ \vec{\omega_i} ω i n ⃗ \vec{n} n x x x
物体表面のある点x x x ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r L o ( x , ω r ⃗ ) L_o(x, \vec{\omega_r}) L o ( x , ω r )
L o ( x , ω r ⃗ ) = L e ( x , ω r ⃗ ) + L r ( x , ω r ⃗ ) = L e ( x , ω r ⃗ ) + ∫ Ω f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) L i ( x , ω i ⃗ ) ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ \begin{aligned}L_o(x, \vec{\omega_r}) &= L_e(x, \vec{\omega_r}) + L_r(x, \vec{\omega_r}) \\ &= L_e(x, \vec{\omega_r}) + \int_{\Omega}f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r})L_i(x, \vec{\omega_i})(\vec{\omega_i}\cdot \vec{n})d\vec{\omega_i}
\end{aligned} L o ( x , ω r ) = L e ( x , ω r ) + L r ( x , ω r ) = L e ( x , ω r ) + ∫ Ω f ( x , ω i , ω r ) L i ( x , ω i ) ( ω i ⋅ n ) d ω i レンダリング方程式 L e ( x , ω r ⃗ ) L_e(x, \vec{\omega_r}) L e ( x , ω r ) x x x ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r L r ( x , ω r ⃗ ) L_r(x, \vec{\omega_r}) L r ( x , ω r ) x x x ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r レンダリング方程式(Light Transport Equation) という。
画素に入る放射輝度 たとえばカメラに方向ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r L o ( x , ω r ⃗ ) L_o(x, \vec{\omega_r}) L o ( x , ω r )
レンダリング方程式は再帰的に計算することができる。L i ( x , ω i ⃗ ) L_i(x, \vec{\omega_i}) L i ( x , ω i ) x ′ x' x ′ ω i ⃗ \vec{\omega_i} ω i
L o ( x , ω r ⃗ ) = L e ( x , ω r ⃗ ) + ∫ Ω f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) { L e ( x ′ , ω i ⃗ ) + ∫ Ω f ( x ′ , ω i ′ ⃗ , ω i ⃗ ) L i ( x ′ , ω i ⃗ ) ( ω i ′ ⃗ ⋅ n ′ ⃗ ) d ω i ′ ⃗ } ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ L_o(x, \vec{\omega_r}) = L_e(x, \vec{\omega_r}) + \int_{\Omega} f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r})\{L_e(x', \vec{\omega_i}) + \int_{\Omega}f(x', \vec{\omega_i'}, \vec{\omega_i})L_i(x', \vec{\omega_i})(\vec{\omega_i'}\cdot\vec{n'})d\vec{\omega_i'}\}(\vec{\omega_i}\cdot\vec{n})d\vec{\omega_i} L o ( x , ω r ) = L e ( x , ω r ) + ∫ Ω f ( x , ω i , ω r ) { L e ( x ′ , ω i ) + ∫ Ω f ( x ′ , ω i ′ , ω i ) L i ( x ′ , ω i ) ( ω i ′ ⋅ n ′ ) d ω i ′ } ( ω i ⋅ n ) d ω i となる。
レンダリング方程式の展開 さらにL i ( x ′ , ω i ′ ⃗ ) L_i(x', \vec{\omega_i'}) L i ( x ′ , ω i ′ )
上の式は非常に複雑である。式を簡単にするために積分オペレーターT T T
< T g > ( x , ω r ⃗ ) = ∫ Ω f ( x , ω i ⃗ , ω r ⃗ ) g ( x , ω i ⃗ ) ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ <T g>(x, \vec{\omega_r}) = \int_{\Omega}f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_r})g(x, \vec{\omega_i})(\vec{\omega_i}\cdot \vec{n})d\vec{\omega_i} < T g > ( x , ω r ) = ∫ Ω f ( x , ω i , ω r ) g ( x , ω i ) ( ω i ⋅ n ) d ω i これを使うとレンダリング方程式は以下のように書ける。
L = L e + T L L = L_e + TL L = L e + T L L L L L o ( x , ω r ⃗ ) L_o(x, \vec{\omega_r}) L o ( x , ω r ) L e L_e L e L e ( x , ω r ⃗ ) L_e(x, \vec{\omega_r}) L e ( x , ω r )
L = L e + T ( L e + T ( L e + … L = L_e + T(L_e + T(L_e + \dots L = L e + T ( L e + T ( L e + … L = L e + T L e + T 2 L e + T 3 L e + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ T k L e L = L_e + TL_e + T^2L_e + T^3L_e + \dots = \sum_{k = 0}^{\infty}T^kL_e L = L e + T L e + T 2 L e + T 3 L e + ⋯ = k = 0 ∑ ∞ T k L e このように表現することができる。この形をノイマン級数展開という。T L e TL_e T L e T 2 L e T^2L_e T 2 L e
上のレンダリング方程式では立体角に関する積分によって反射される放射輝度を表現していた。これを物体表面上の点x ′ x' x ′ x x x ω i ⃗ \vec{\omega_i} ω i x ′ x' x ′ d ω i ⃗ d\vec{\omega_i} d ω i x ′ x' x ′
∥ x ′ − x ∥ 2 d ω i ⃗ \|x' - x\|^2d\vec{\omega_i} ∥ x ′ − x ∥ 2 d ω i となっている。
x ′ x' x ′ n ′ ⃗ \vec{n'} n ′ A A A d A dA d A d ω i ⃗ d\vec{\omega_i} d ω i
d A = ∥ x ′ − x ∥ 2 ( ω i ⃗ ⋅ n ′ ⃗ ) d ω i ⃗ dA = \frac{\|x' - x\|^2}{(\vec{\omega_i}\cdot\vec{n'})}d\vec{\omega_i} d A = ( ω i ⋅ n ′ ) ∥ x ′ − x ∥ 2 d ω i の関係がある。
物体表面に関する積分 これより
d ω i ⃗ = ( ω i ⃗ ⋅ n ′ ⃗ ) ∥ x ′ − x ∥ 2 d A d\vec{\omega_i} = \frac{(\vec{\omega_i}\cdot\vec{n'})}{\|x' - x\|^2}dA d ω i = ∥ x ′ − x ∥ 2 ( ω i ⋅ n ′ ) d A を得る。この変換も頻出なのでよく覚えておいてほしい。これを立体角積分のレンダリング方程式に代入することで以下の式を得る。
L o ( x , ω r ⃗ ) = L e ( x , ω r ⃗ ) + ∫ A f ( x , x ′ → x , ω r ⃗ ) L i ( x ′ → x ) V ( x , x ′ ) ( ( x → x ′ ) ⋅ n ⃗ ) ( ( x ′ → x ) ⋅ n ′ ⃗ ) ∥ x ′ − x ∥ 2 d A L_o(x, \vec{\omega_r}) = L_e(x, \vec{\omega_r}) + \int_Af(x, x'\rightarrow x, \vec{\omega_r})L_i(x'\rightarrow x)V(x, x')\frac{((x \rightarrow x')\cdot\vec{n})((x' \rightarrow x)\cdot\vec{n'})}{\|x' - x\|^2}dA L o ( x , ω r ) = L e ( x , ω r ) + ∫ A f ( x , x ′ → x , ω r ) L i ( x ′ → x ) V ( x , x ′ ) ∥ x ′ − x ∥ 2 ( ( x → x ′ ) ⋅ n ) ( ( x ′ → x ) ⋅ n ′ ) d A x → x ′ x\rightarrow x' x → x ′ x x x x ′ x' x ′ A A A V ( x , x ′ ) V(x, x') V ( x , x ′ )
V ( x , x ′ ) = { 1 ( x ′ が x から見える ) 0 ( o t h e r w i s e ) V(x, x') = \begin{cases} 1&(x'\text{が}x\text{から見える})\\0&(otherwise) \end{cases} V ( x , x ′ ) = { 1 0 ( x ′ が x から見える ) ( o t h e r w i s e ) のように定義される。式が煩雑なので幾何項G ( x , x ′ ) G(x, x') G ( x , x ′ )
G ( x , x ′ ) = ( ( x → x ′ ) ⋅ n ⃗ ) ( ( x ′ → x ) ⋅ n ′ ⃗ ) ∥ x ′ − x ∥ 2 G(x, x') = \frac{((x \rightarrow x')\cdot\vec{n})((x'\rightarrow x)\cdot\vec{n'})}{\|x' - x\|^2} G ( x , x ′ ) = ∥ x ′ − x ∥ 2 ( ( x → x ′ ) ⋅ n ) ( ( x ′ → x ) ⋅ n ′ ) すると２点形式のレンダリング方程式は以下のように書ける。
L o ( x , ω r ⃗ ) = L e ( x , ω r ⃗ ) + ∫ A f ( x , x → x ′ , ω r ⃗ ) L i ( x ′ → x ) V ( x , x ′ ) G ( x , x ′ ) d A L_o(x, \vec{\omega_r}) = L_e(x, \vec{\omega_r}) + \int_Af(x, x\rightarrow x', \vec{\omega_r})L_i(x'\rightarrow x)V(x, x')G(x, x')dA L o ( x , ω r ) = L e ( x , ω r ) + ∫ A f ( x , x → x ′ , ω r ) L i ( x ′ → x ) V ( x , x ′ ) G ( x , x ′ ) d A
2点形式のレンダリング方程式 3点x , x ′ , x ′ ′ x, x', x'' x , x ′ , x ′ ′ ω r ⃗ \vec{\omega_r} ω r
L o ( x ′ → x ) = L e ( x ′ → x ) + ∫ A f ( x ′ ′ → x ′ → x ) L i ( x ′ ′ → x ) V ( x ′ , x ′ ′ ) G ( x ′ , x ′ ′ ) d A L_o(x'\rightarrow x) = L_e(x'\rightarrow x)+\int_A f(x''\rightarrow x' \rightarrow x)L_i(x''\rightarrow x)V(x', x'')G(x', x'')dA L o ( x ′ → x ) = L e ( x ′ → x ) + ∫ A f ( x ′ ′ → x ′ → x ) L i ( x ′ ′ → x ) V ( x ′ , x ′ ′ ) G ( x ′ , x ′ ′ ) d A 3点形式のレンダリング方程式 x x x x ′ x' x ′ x ′ ′ x'' x ′ ′ A A A
ノイマン級数展開されたレンダリング方程式から、k k k k k k
L o ( x 0 → x − 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ∫ A ∫ A … ⏞ k + 1 ∫ A K ( x k , x k − 1 , x k − 2 ) … K ( x 1 , x 0 , x − 1 ) L e ( x k → x k − 1 ) d A k d A k − 1 … d A 0 L_o(x_0\rightarrow x_{-1}) = \sum_{k=0}^{\infty}\int_A\int_A\overbrace{\dots}^{k+1}\int_AK(x_k, x_{k-1}, x_{k-2})\dots K(x_1, x_0, x_{-1})L_e(x_k\rightarrow x_{k-1})dA_kdA_{k-1}\dots dA_0 L o ( x 0 → x − 1 ) = k = 0 ∑ ∞ ∫ A ∫ A … k + 1 ∫ A K ( x k , x k − 1 , x k − 2 ) … K ( x 1 , x 0 , x − 1 ) L e ( x k → x k − 1 ) d A k d A k − 1 … d A 0 ここで、K ( x ′ ′ , x ′ , x ) = f ( x ′ ′ → x ′ → x ) V ( x ′ , x ′ ′ ) G ( x ′ , x ′ ′ ) K(x'', x', x) = f(x''\rightarrow x' \rightarrow x)V(x', x'')G(x', x'') K ( x ′ ′ , x ′ , x ) = f ( x ′ ′ → x ′ → x ) V ( x ′ , x ′ ′ ) G ( x ′ , x ′ ′ ) x − 1 x_{-1} x − 1
拡散反射は全ての方向に一様に光を反射する。反射率をρ \rho ρ c c c
と表せる。半球で積分するとρ \rho ρ
c ρ ∫ Ω ( ω i ⃗ ⋅ n ⃗ ) d ω i ⃗ = ρ c ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 cos θ sin θ d θ d ϕ = 1 c π = 1 c = 1 π c\rho\int_{\Omega} (\vec{\omega_i}\cdot\vec{n}) d\vec{\omega_i} = \rho \\
c\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}\sin{\theta}d\theta d\phi = 1\\
c\pi = 1\\
c = \frac{1}{\pi} c ρ ∫ Ω ( ω i ⋅ n ) d ω i = ρ c ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π cos θ sin θ d θ d ϕ = 1 c π = 1 c = π 1 したがって拡散反射のBRDFは
f = ρ π f = \frac{\rho}{\pi} f = π ρ となる。
点x ⃗ \vec{x} x n ⃗ \vec{n} n r r r Ω \Omega Ω
∫ Ω d ω ⃗ = 2 π \int_{\Omega} d\vec{\omega} = 2\pi ∫ Ω d ω = 2 π
L i ( x , ω i ⃗ ) = 1 L_i(x, \vec{\omega_i}) = 1 L i ( x , ω i ) = 1 x x x d Φ d A \frac{d\Phi}{dA} d A d Φ
問3の設定で、BRDFがf ( x , ω i ⃗ , ω o ⃗ ) = ρ π f(x, \vec{\omega_i}, \vec{\omega_o}) = \frac{\rho}{\pi} f ( x , ω i , ω o ) = π ρ x x x ω o ⃗ \vec{\omega_o} ω o L r ( x , ω o ⃗ ) L_r(x, \vec{\omega_o}) L r ( x , ω o )
鏡面反射のBRDFを求めよ。
