問1

Rayの方向$\vec{d}$を法線$\vec{n}$で反射させた方向を返す関数Vec3 reflect(const Vec3& d, const Vec3& n)を作れ。

解答例

まず反射した方向$\vec{r}$を求める。

$\vec{d}$を水平な成分$\vec{d_h}$と垂直な成分($\vec{n}$に平行)$\vec{d_p}$に分解することを考えよう。すると$\vec{d}$は

と書ける。

$\vec{d_p}$は

と書ける。よって$\vec{d_h}$は

と書ける。

反射した方向$\vec{r}$も同様に水平成分、垂直成分に分解すると

と書けるから

この式で反射ベクトルが計算できる。

Vec3 reflect(const Vec3& d, const Vec3& n) {
    return d - 2*dot(d, n)*n;
}

問2

Phongの反射モデルを使って陰影計算を行ってみましょう。

Phongの反射モデルでは、光源の方向を$\vec{l}$、Rayの方向を$\vec{d}$、衝突点の法線を$\vec{n}$とし、$-\vec{l}$を$\vec{n}$で反射させたものを$\vec{r}$とすると、光の強さ$I$は

で与えられます。

$k_d, k_s$は$k_d + k_s = 1$を満たす$[0, 1]$の区間に含まれる実数です。$\alpha$はハイライトの強さを制御する0以上の実数です。これらのパラメーターを色々と変化させて画像を生成してみてください。

解答例

問1で実装したreflect()を使って$\vec{r}$を計算できる。

#include "vec3.h"
#include "image.h"
#include "sphere.h"
#include "camera.h"


Vec3 reflect(const Vec3& d, const Vec3& n) {
    return d - 2*dot(d, n)*n;
}


int main() {
    Image img(512, 512);
    Camera cam(Vec3(0, 0, -3), Vec3(0, 0, 1));

    Sphere sphere(Vec3(0, 0, 0), 1.0);

    Vec3 sunDir = normalize(Vec3(1, 1, -1));

    double kd = 0.5;
    double ks = 0.5;
    double alpha = 128.0;

    for(int i = 0; i < img.width; i++) {
        for(int j = 0; j < img.height; j++) {
            double u = (2.0*i - img.width)/img.width;
            double v = (2.0*j - img.height)/img.height;
            Ray ray = cam.getRay(u, v);

            Hit hit;
            if(sphere.intersect(ray, hit)) {
                Vec3 color = Vec3(1, 1, 1);
                Vec3 r = reflect(-1*sunDir, hit.hitNormal);
                double I = kd*std::max(dot(hit.hitNormal, sunDir), 0.0) + ks*std::pow(std::max(dot(-1*ray.direction, r), 0.0), alpha);
                img.setPixel(i, j, I*color);
            }
            else {
                img.setPixel(i, j, Vec3(0, 0, 0));
            }
        }
    }

    img.ppm_output();
}

$k_d=0.8, k_s=0.2, \alpha=32$

$k_d=0.8, k_s=0.2, \alpha=128$

$k_d=0.5, k_s=0.5, \alpha=128$